因子是什么：从 CAPM 到 Fama–French

第一层：通俗理解

1.1 一锅汤的味道从哪来

一锅汤很咸，是因为放了盐、酱油，还是厨师手艺特别？如果你知道这锅汤里放了多少盐、多少酱油，就能估计出"手艺"贡献了多少。

一个基金赚了 20%：

• 如果那年大盘涨了 18%，而这个基金的股票本身就比大盘波动大，那 20% 大部分是"盐"（市场暴露）；
• 如果它主要买小盘股，而那年小盘股普遍跑赢，又是一种"酱油"（规模因子暴露）；
• 扣掉这些之后，剩下的才是"手艺"（alpha）。

因子模型就是把收益拆成"配料"和"手艺"的工具。

1.2 为什么这件事重要

第二层：因子模型的演化

2.1 CAPM：只有一个因子

资本资产定价模型（Sharpe、Lintner 等，1960 年代）认为：

$$E[R_i] - R_f = \beta_i \big(E[R_m] - R_f\big),$$

一只资产的超额收益，只取决于它对市场的暴露 $\beta_i$。高 beta 的股票风险大，所以预期收益高。

问题：实证中，很多现象 CAPM 解释不了。比如小市值股票、低市净率（"便宜"）的股票，长期平均收益比 CAPM 预测的更高。

2.2 Fama–French 三因子（1993）

$$R_i - R_f = \alpha_i + \beta_i\,\text{MKT} + s_i\,\text{SMB} + h_i\,\text{HML} + \varepsilon_i$$

2.3 更多因子

2.4 因子溢价从哪里来

这是学术界争论最多的问题之一：

例如价值因子在 2010 年代表现长期低迷，引发了"价值因子是否已死"的激烈讨论。

第三层：动手做一次因子回归

3.1 用模拟数据还原因子暴露

我们先"造"一个组合：已知它的真实暴露是市场 1.1、规模 0.5、价值 −0.3，每月 alpha 0.1%，再加上随机噪声。然后用回归看看能否把这些数字找回来。

import numpy as np, pandas as pd, statsmodels.api as sm
rng = np.random.default_rng(42)
n = 120  # 10 年月度数据
f = pd.DataFrame({
    "MKT": rng.normal(0.006, 0.045, n),
    "SMB": rng.normal(0.002, 0.030, n),
    "HML": rng.normal(0.003, 0.030, n),
})
true_alpha, true_beta = 0.001, {"MKT": 1.1, "SMB": 0.5, "HML": -0.3}
excess = true_alpha + sum(true_beta[k] * f[k] for k in f) + rng.normal(0, 0.02, n)

X = sm.add_constant(f)
res = sm.OLS(excess, X).fit()
print(res.params.round(3).to_dict())
print(res.tvalues.round(2).to_dict())
print("R2", round(res.rsquared, 3))

输出：

{'const': 0.002, 'MKT': 0.999, 'SMB': 0.459, 'HML': -0.375}
{'const': 0.8, 'MKT': 18.5, 'SMB': 7.39, 'HML': -6.1}
R2 0.803

3.2 怎么读这个结果

最后一行是最重要的教训：alpha 很难被证明。因子暴露（beta）通常估计得很准，因为因子本身波动大；而 alpha 是一个很小的常数，埋在大量噪声里。粗略地说，alpha 的 t 值随样本长度的平方根增长，一个真实但微小的 alpha，可能需要几十年的数据才能确认。

3.3 实际使用时的注意事项

• 因子数据：Kenneth French 教授的网站免费提供美国及全球市场的因子收益数据，是学术研究的标准来源；
• 因子构造的细节很重要：如何定义"小盘"、多久调仓一次、是否剔除金融股，都会影响结果；
• 时变暴露：基金经理的风格会变，用滚动窗口回归观察 beta 的变化；
• 标准误：收益序列有自相关和异方差时，用 Newey–West 等稳健标准误。

res_robust = sm.OLS(excess, X).fit(cov_type="HAC", cov_kwds={"maxlags": 3})

总结